Аннуитеты в МСФО

В данной статье мы продолжим говорить о дисконтировании денежных потоков и в этот раз речь пойдет об аннуитетных денежных потоках.

Что такое аннуитет?

Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Например, фиксированная сумма зарплата, арендных выплат, платежей банку по кредиту и т.д.

Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Данные термины обозначают момент платежа. Термин пренумерандоозначает платежи в начале каждого периода, постнумерандо — в конце временного периода.

Формула аннуитета

Аннуитетные денежные потоки также можно дисконтировать, то есть определять их текущую стоимость. Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег.

Дисконтирование аннуитетных платежей

ПРИМЕР 1. Необходимо выбрать наиболее выгодный вариант:

А) получить 40,000 долларов сегодня или

(Б) 5 раз по 10,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.

Банковская ставка для получения кредита на данный срок составляет 10%.

На первый взгляд вариант (Б) в сумме лучше (5 х 10,000 = 50,000), чем 40,000 долларов. Но действительно ли это так? Ведь мы знаем, что у денег есть еще и «временная» стоимость. Чтобы сравнить эти два варианта между собой, надо привести их к одному моменту времени (к моменту «сейчас»), поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость.

Для начала давайте вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV х 1/(1+R)ⁿ

где,

Future value (FV) – будущая стоимость Present value (PV) – текущая (дисконтированная/приведенная) стоимость. R – ставка процента (норма доходности, требуемая инвестором), N – число лет от даты в будущем до текущего момента

Коэффициенты дисконтирования, используемые для нашего примера 1/(1+R)ⁿ — это 0.9091, 0.8264 и т.д. Только эти вычисления придется повторить 5 раз и сложить. Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая таблица:

10,000 х 0,9091 = 9,091
10,000 х 0,8264 = 8,264
10,000 х 0,7513 = 7,513
10,000 х 0,6830 = 6,830
10,000 х 0,6209 = 6,209
Итого: 37,907

Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В итоге, пять платежей по 10,000 долларов в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 37,907 долларов, что немного меньше, чем 40,000 сегодня. Следовательно, при ставке 10%, 40,000 долларов сегодня будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 10,000 долларов.

Формулу дисконтированной стоимости аннуитета можно записать следующим образом:

PV = PMT х [1/(1+R)¹ + 1/(1+R)² + 1/(1+R)³ + 1/(1+R)⁴ +1/(1+R)⁵] = 10,000 х (0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209) = 10,000 х 3.7907 = 37,907

где PMT (от английского payment) – это сумма аннуитетного платежа.

Как Вы могли заметить, вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз. Результат сложения коэффициентов дисконтирования за 5 лет называется коэффициентом аннуитета. В данном примере коэффициент аннуитета равен 3,7907.

Таким образом, для нахождения текущей стоимости аннуитетов необходимо разовый платеж умножить на коэффициент аннуитета (10,000*3,7907 = 37,907).

Итак, мы разобрали пример с аннуитетными платежами в конце каждого года (постнумерандо) .

ПРИМЕР 2. Давайте немного изменим условия нашего примера. Необходимо выбрать наиболее выгодный вариант:

А) получить 40,000 долларов сегодня или

Б) 5 раз по 10,000 долларов в начале каждого из следующих 5 лет.

Это будет так называемый аннуитет пренумерандо.

В данной ситуации, так как первый платеж производится в начале года, то самый важный нюанс, о котором надо помнить, это то что, первый платеж не надо дисконтировать (т.е. приводить к настоящему моменту). Другими словами, для первого платежа используется коэффициент дисконтирования равный единице. Но необходимо дисконтировать остальные 4 платежа, так как они отложены во времени. Для иллюстрации составим следующую таблицу:

10,000 х 1.000 = 10,000
10,000 х 0.9091 = 9,091
10,000 х 0.8264 = 8,264
10,000 х 0.7513 = 7,513
10,000 х 0.6830 = 6,830
Итого: 41,698

Следовательно, предложенный аннуитет 5 лет по 10,000 в начале года будет выгоднее, чем 40,000 сегодня при ставке 10%.

Формула дисконтированной стоимости аннуитета:

PV = PMT + PMT х [1/(1+R)¹ + 1/(1+R)² + 1/(1+R)³ + 1/(1+R)⁴] = 10,000 + 10,000 х (0.9091+0.8264+0.7513+0.6830) = 10,000 + 10,000 х 3.1698 = 41,698

Обратите внимание, что в данном примере мы определили коэффициент аннуитета для четырех отложенных во времени платежей, а не для пяти, а первый платеж не дисконтировали.

Как видно из данных примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную стоимость аннуитетных денежных потоков, желательно рисовать шкалу времени, на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.